Так, пятиклас-
сники могут играть в математические игры, в правилах
которых заложены идеи высшей математики; к этим пра-
вилам они приходят интуитивно и вполне способны на-
учиться действовать в соответствии с ними. Однако они
затрудняются описать свою игру, когда от них требуют
формального ее описания на основе математики, несмотря
на то что практически они прекрасно умеют строить свое
поведение в полном согласии с данными правилами. Во
время одной из конференций мы имели редкую возмож-
ность наблюдать процесс обучения, в ходе которого пяти-
классники чрезвычайно быстро усваивали основные по-
нятия теории функций, однако первая же попытка учи-
теля объяснить им, что такое теория функций, потерпела
полную неудачу. Позднее, на соответствующей стадии
развития, приобретя определенный опыт обращения с
конкретными операциями, дети созреют для того, чтобы
познакомиться с необходимым формальным аппаратом
этих понятий,
363
В процессе усвоения ребенком основных понятий самое
важное - помочь ему в постепенном переходе от кон-
кретного мышления к использованию абстрактно-поня-
тийных способов мышления. Однако пытаться достичь
втого путем формальных объяснений, основанных на
рогике, совершенно бесполезно, поскольку логика весьма
далека от способа мышления ребенка и по своей внутрен-
ней структуре совершенно для него недоступна. К со-
жалению, в основном преподавание математики носит
именно такой характер. Ребенка учат не понима-
рию математической закономерности, а, скорее, приме-
рению некоторых схем и приемов, не объясняя при
ртом их смысла и взаимной связи и не изменяя мате-
риала в соответствии со способом мышления ребен-
Жа. На основе таких неадекватных приемов ребенок
легко приходит к убеждению, что самое важное - это
точность, хотя последняя имеет значительно больше
фбщого с вычислением, чем с математикой. Самым пора-
вительным примером такого положения в преподавании
является, вероятно, первое знакомство школьников с
евклидовой геометрией. Они знакомятся с ней впервые
как с системой аксиом и теорем, не имея ни малейшего
представления о простых геометрических фигурах и
способах обращения с ними. Если бы на ранних стадиях
обучения ребенок получил некоторые понятия и стратегии
ца доступном для него уровне в форме интуитивной геи-
трии, он был бы гораздо лучше подготовлен к понима-
дию глубокого смысла тех теорем и аксиом, которые
будут ему преподаны впоследствии.
Но ход умственного развития ребенка представляет
собой не просто часовой механизм последовательности
событий - он одроделяется также и различными влия-
ниями среды, особенно школьной. Поэтому преподавании
осноз наук, даже на элементарном уровне, не должно
слепо следовать естественному ходу познавательного раз-
вития ребенка. Преподавание может стать даже ведущим
фактором этого развития, предоставляя ученику заман-
чивые и вполне осуществимые возможности самому
форсировать свое развитие. Опыт доказывает полезность
постановки перед ребенком таких задач, которые поощ-
ряют его к переходу на следующие стадии развития. Вот
что говорит об этом один из видных и опытных препода-
вателей элементарной математики Д. Пэвдж:.
364
<Имея самый разнообразный опыт преподавания - от детско-
го сада до аспирантуры,- я не раз поражался интеллектуальному
сходству людей разных возрастов. И все же дети обнаруживают
больше спонтанности, энергии и творчества, чем взрослые. Насколь-
ко я знаю, малыши почти любое явление усваивают быстрее взрос-
лых, если оно объяснено в доступной для них форме. Выяснилось,
что для такого рода изложения материала учитель сам должен хо-
рошо знать математику, и чем лучше он ее знает, тем выше резуль-
тат преподавания. Не следует торопиться с установлением абсолют-
ных пределов трудности той или иной темы. Когда я говорю матема-
тикам, что четвероклассники вполне способны усвоить <теорию мно-
экеств>, лишь некоторые из них соглашаются с этим. Большинство
же с возмущением отвергает такую возможность. Последние со-
вершенно неправы, полагая, что <теория множеств> трудна по су-
ществу. Вполне возможно, что тем, трудных по существу, вообще
не существует. Мы просто должны дождаться того момента, когда
в сознании учащегося проявится надлежащая точка зрения и соот-
ветствующий для ее изложения язык. Что же касается определен-
ного понятия или темы, всегда можно сформулировать просто
некоторые исходные вопросы или подвести ученика к тому, чтобы
он задал их сам. Нетрудно также поставить такие вопросы, ко-
торые он не в состоянии решить. Все дело в том, чтобы вопрос был
средней степени трудности, посильным для решения. В этом и
состоит задача учителя и учебных пособий>.
С помощью умело сформулированных вопросов сред-
ней трудности учитель побуждает ребенка к ускоренному
переходу от одной стадии умственного развития к другой,
способствуя тем самым более глубокому пониманию прин-
ципов математики, физики или истории. Познакомимся
поближе со способами, которые при этом применяются,
Б. Инхельдер попросили поделиться своими мыслями
о том, какими методами можно ускорить достижение
ребенком различных стадий развития в освоении физико-
математических наук. Ниже приводится отрывок из мемо-
рандума, составленного ею для конференции в Вудс-Хоул,
<Наиболее элементарные формы суждения - будь то в логике,
арифметике, геометрии или физике - основаны на принципе инва-
риантности количества:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154