И может их быть бесконечное множество. Потому что числовой ряд – это любая последовательность чисел. Скажем, 3, 25, 48, 364. Или: 8, 12, 93, 165, 482. Хоть это и не значит, что любой числовой ряд интересен с точки зрения математики. Математические ряды всегда строятся по какому-нибудь правилу. Один по такому, другой – по этакому. Напридумать таких правил можно сколько угодно. Куда труднее разгадать, по какому правилу ряд строили…
– Да-да, это вы верно заметили, – согласился Главный терятель. – Недавно в детском математическом журнале напечатали один числовой ряд, так я над ним целую неделю бился…
– И как, добились? – ехидно поинтересовалась девочка.
– Представь себе, да, – с гордостью ответил он.
– Интересно бы взглянуть, – полюбопытствовал я.
– Сделайте одолжение, – сказал Главный терятель. – Ряд был такой: 0, 4, 18, 48, 100, 180. А образуется он так: первое его число 0 есть 12х0. Второе – это 22х1. Третье – 32х2. Четвёртое – 42хЗ. И так далее. Иначе говоря, каждое число этого ряда равно квадрату последовательного натурального числа (начиная с единицы), умноженному на предыдущее число. Если, конечно, условно считать нуль натуральным числом, – поспешно добавил он.
– Поздравляю, – сказал я. – Закономерность этого ряда не так уж проста. Но недавно мне пришло в голову, как можно продолжить числовой ряд, его закономерности не зная.
– Счастливец, – позавидовал Главный терятель. – Хотел бы я быть на вашем месте.
– Нет ничего проще, – заверил я. – Хотя, конечно, способ мой не универсален. Он годится лишь в определённых случаях, о которых сейчас благоразумнее не распространяться…
– Ясно, – съязвила девочка, – для нас с Пусей это рановато.
– Вот именно, – подтвердил я и, вырвав листок из блокнота, написал на нём ряд чисел. – Недавно мне пришло в голову, что продолжить числовой ряд легко с помощью серии вычитаний, до тех пор вычитая из последующих чисел предыдущие, пока разность их не окажется одинаковой…
– То есть как – одинаковой? – не понял Главный терятель.
– А вот так, – сказал я. – Вот вам ряд чисел: 9, 18, 31, 48, 69. Между прочим, числа ряда называются членами. Так вот, вычитая из второго члена первый, из третьего – второй, из четвёртого – третий, из пятого – четвёртый, получаем новый, второй ряд: 9, 13, 17, 21. Повторив ту же операцию со вторым рядом, получаем третий, состоящий из одних четвёрок.
Совершенно очевидно, что продолжить второй ряд можно, прибавив к последнему члену (21) число 4. При этом получим 25. И так же очевидно, что получить следующий член первого ряда (9, 18, 31, 48, 69) можно, прибавив 25 к числу 69.
– А дальше? – понукала девочка.
– Дальше и младенцу ясно, что к каждому последующему члену второго ряда надо прибавлять четвёрку, чтобы получить разность между двумя последующими членами первого ряда. Стало быть, вслед за числом 69 должно стоять 94 (69+25=94), а за числом 94 идёт 123, так как разность в этом случае уже 25+4, то есть 29. Ну и так далее…
– Как интересно! – обрадовалась девочка. – Сейчас мы ваш способ испробуем на практике.
– Это каким же образом? – спросил я.
– Обыкновенным. Возьмём любой ряд чисел…
– Но я же предупреждал, что любой ряд не годится, – возразил я. – Тут нужен ряд определённого типа…
– Выходит, вы знали, какого типа этот?! – возмутилась девочка.
– Конечно, знал, – засмеялся я. – И какого он типа, и по какому закону построен. Но разве в том суть? Суть в том, что, и не зная закона построения, я мог бы продолжить ряд этим способом. А теперь вот и тебя научил. И Главного терятеля…
– Были бы подходящие примеры, – деликатно намекнул тот.
– За примерами дело не станет, – пообещал я. – Для начала возьмите хоть тот ряд из детского журнала: 0, 4, 18, 48, 100, 180. А потом и другой: 4, 9, 16, 25, 36, 49…
Наготове у меня было ещё несколько рядов, но продиктовать их не удалось: где-то по соседству послышался стук. Пуся навострил свои и без того острые ушки. Мы тоже насторожились.
– Если б мы не были в музее, я бы сказал, что тут рядом бильярд, – заявил Главный терятель.
– Ну да? – обрадовалась девочка. – Хорошо бы на самом деле!
БИЛЬЯРД ПО-ЭНЭМСКИ
Как ни странно, в соседнем зале действительно помещался бильярд. На его ярко-зелёном поле белели перенумерованные костяные шары. Правда, их было много больше обычного. Перед тем как начать партию, игроки выкладывали из них разные геометрические фигуры, а потом убирали со стола лишнее и приступали к игре.
Мне не пришлось долго думать, чтобы понять, в чём дело.
Бильярд – очень удобное место для игры в фигурные числа. А фигурными числами занимались многие прославленные математики. Вот почему устроители музея сочли возможным отвести один зал под бильярдную.
Девочка о фигурных числах до того дня и слыхом не слыхала. Сперва она расхохоталась, а потом заявила, что у чисел фигур не бывает. Ведь они же не люди!
– Конечно, не люди, – согласился я. – Число – понятие воображаемое. Но из чисел можно выкладывать разные геометрические фигуры.
Тут как раз бильярд освободился. Я придвинул к себе горку шаров и выстроил их в одну линию по порядку номеров: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и так далее. Затем положил на середину стола шар номер 1 и пристроил под ним два других под номерами 2 и 3. Получился небольшой равносторонний треугольник, состоящий как бы из двух строк. В первой строке – один шар, во второй – два.
– Перед нами треугольник из двух числовых строк, – сказал я. – Число этих строк можно наращивать до бесконечности и всякий раз получать равносторонний треугольник, состоящий из большего числа шаров. Но мы люди скромные и ограничимся малым. Увеличим наш треугольник до… скажем, до десяти строк. И шары будем выкладывать слева направо, по порядку номеров.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29