Могут ли эти числа оказаться одинаковыми? Вновь обозначая через h длину числа X, находим, что число Х2Х2Х2Х2Х2Х2Х2Х имеет 8h+7 цифр; в то же время число 3332Х23332Х имеет 2h+9 цифр. Равенство 8h+7 = 2h+9 может выполняться, только если h = 1/3, и, следовательно, в данном случае целочисленного значения не существует. Итак, числа вида 3332Х нам также не подходят.
Наконец, что можно сказать относительно числа вида 33332Х? С одной стороны, это число порождает четверной ассоциат числа X, который имеет длину 16/1 + 15; с другой стороны, сам ассоциат числа X имеет длину 2h+11. Ясно, что для любого целого положительного /I выражение 16h+15 больше, чем 2h+11, и, значит, число вида 33332Х порождает нечто слишком для нас большое.
Если мы теперь возьмем число, начинающееся не с 4, а с 5 троек, то несоответствие между длиной числа, которое оно вроде бы должно было порождать, и длиной числа, которое оно порождает на самом деле, окажется еще больше, а если мы возьмем число, начинающееся с 6 или более троек, то это несоответствие станет совсем большим. Таким образом, нам остается снова вернуться к числу 332 X как к единственно возможному решению задачи, причем X в этом случае должен быть числом, состоящим из 2 цифр. Итак, искомое число N должно иметь вид 332аb, где а и b — одиночные цифры, подлежащие определению.
Ясно, что число 332ab порождает двойной ассоциат числа ab, или число аb2аb2аb2аb. При этом необходимо, чтобы число 332 ab порождало ассоциат числа 332аb, который записывается как 332ab2332ab. Могут ли эти два числа оказаться одинаковыми? Для ответа на этот вопрос попробуем сравнить их на соответствие цифр:
аb2аb2аb2аb
332аb2332аb.
Сравнивая первые цифры каждого числа, мы видим, что а обязательно должно быть тройкой. Сравнение вторых цифр дает нам, что b также должно оказаться двойкой. Итак, число N = 33233 является решением нашей задачи и притом единственным».
4. — По правде говоря, — признался Крейг, — первую задачу я решал почти интуитивно; чтобы найти число 323, я не пользовался никаким специальным методом. К тому же я пока не успел обдумать вопрос, существует ли какое-либо иное число, которое порождало бы само себя.
— Однако, как мне кажется, ответы на эти вопросы не потребуют слишком много усилий. В самом деле, попробуем, к примеру, выяснить, не могло бы нам подойти какое-нибудь число вида 332Х. Такое число должно было бы порождать двойной ассоциат числа X, который представляет собой число вида Х2Х2Х2Х и имеет длину 4h+3, где А — длина числа X. С другой стороны, нам необходимо взять такое число, чтобы оно порождало число 332Х, которое в свою очередь имеет длину h+3? Вполне очевидно, что при любых положительных h величина 4h+3 всегда больше, чем h+З, и потому число 332Х будет порождать число, в котором окажется слишком много цифр. То же самое можно сказать, по поводу числа вида 3332Х, а также чисел, начинающихся с четырех и более троек, для них соответствующие расхождения по длине окажутся еще большими. Значит, единственной возможностью для нас остается число вида 32Х (очевидно, что число вида 2Х нам также не годится, поскольку оно не может порождать само себя — ведь оно порождает число X). Далее, число 32Х порождает число Х2Х, и, кроме того, требуется, чтобы оно порождало само себя, то есть опять 32Х. Поэтому числа 32Х и Х2Х должны совпадать. Обозначим через Л длину числа X, тогда число 32Х имеет длину h+2, а число Х2Х — длину 2h+1. При этом должно выполняться условие 2h+1 = h+2, откуда сразу следует, что h равно 1. Стало быть, число X состоит из одной-единственной цифры. Наконец, для какой цифры а имеет место условие a2a = 32a? Ясно, что а в этом случае должно быть тройкой. Итак, число 323 является единственным решением данной задачи.
5. Возьмем в качестве N число 3273. Это число порождает ассоциат числа 73, то есть число 73273, которое в свою очередь можно представить как 7N. Итак, число 73273 есть решение нашей задачи. (Кроме того, это решение — единственное, что легко можно показать с помощью сравнительного анализа соответствующих длин, подробно обсуждавшегося в последних двух задачах.)
6. Поскольку число 323 порождает само себя, то число3323 должно порождать ассоциат числа 323. Итак, если положить N = 323, тогда число 3N действительно порождает ассоциат числи N. (Это решение является единственным.)
7. Решением будет число 332333. Проверка: положим N равным этому числу. Тогда оно порождает двойной ассоциат числа 333, который в свою очередь является ассоциатом числа 3332333 — или, иными словами, ассоциатом числа 3N.
8. Очевидно, что эта задача представляет собой прямое обобщение задачи 5. Там мы видели, что при N = 3273 число N порождает число 7N. Цифра 7 не играет в данном случае никакой особой роли. Действительно, для любого числа А справедливо условие: если мы положим Y = 32A3, то число У будет порождать число AY (поскольку оно порождает ассоциат числа A3, который записывается как A32A3 и который в свою очередь представляет собой число А У). Итак, например, если мы хотим найти число У, которое порождало бы число 837Y, то мы должны выбрать У равным 328373.
Указанный факт, как выяснится ниже, имеет важное теоретическое значение!
9. Ответом на поставленный вопрос будет «да». Возьмем в качестве У число 332A33. Это число порождает двойной ассоциат числа АЗЗ, который в свою очередь является ассоциатом числа A332/433. Но число A332A33 и есть АY; следовательно, число У порождает ассоциат числа А У.
Для частного примера, предложенного Мак-Каллохом (найти число У, которое порождало бы ассоциат числа 56 У), решением будет число У=3325633.
10. Решением является число 3332333. Оно порождает тройной ассоциат числа 333, который является двойным ассоциатом ассоциата числа 333.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69