Связь между этими двумя кривыми обнаружится, если начертить график градиента синусоиды: мы получим другую синусоиду, смещенную на четверть длины волны вправо относительно первой. Эта кривая называется косинусоидой. Построив график угла наклона касательной косинусоиды, мы сдвинем последнюю еще на четверть длины волны вправо и получим кривую, совпадающую с первой синусоидой, только перевернутой. Проделав такую операцию еще два раза, мы вернемся к исходной кривой. Таким образом, экспонента и синусоида (или косинусоида) обладают одним общим важным свойством симметрии, устанавливающим связь между формой самой кривой и формой кривой, описывающей угол наклона касательной к ней (градиент).

Рис.7. Синусоида. Характерной форме этой кривой соответствуют математические свойства, тесно связанные со свойствами экспоненциальной кривой, изображенной на рис. 6. Синусоида описывает широкий круг физических явлений, включая волновое движение и периодические колебания.

Эта глубокая связь между е^x и sin x полностью выявляется в теории комплексных чисел, где обычная система чисел обобщается и включает квадратные корни из отрицательных чисел. Оказывается, что когда x – квадратный корень из отрицательного числа, е^x становится смесью двух волн – синусоидальной и косинусоидальной. Теперь уже не приходится удивляться, что физические системы, поведение которых описывается экспонентой, способны проявлять и периодическое, “синусоидальное”, поведение. Примером такой системы может служить так называемый гармонический осциллятор, скажем, маятник или просто масса, прикрепленная к пружине. Если массу слегка отклонить от состояния равновесия, то она начнет колебаться взад-вперед в результате периодического воздействия пружины. Положение массы в зависимости от времени будет изменяться по синусоиде, изображенной на рис. 7. Такое движение массы определяется законом изменения силы натяжения пружины. Величина этой силы прямо пропорциональна смещению массы из положения равновесия, а направление таково, что она пытается вернуть массу в положение равновесия: если пружина растянута, то сила создает притяжение, если пружина сжата – отталкивание.
Предположим теперь, что сила, изменяющаяся по тому же закону, была бы направлена не к положению равновесия, а от него. Поведение системы в этом случае оказалось бы совершенно Другим. Отклонение массы от равновесия нарастало бы по экспоненте, масса разгонялась бы все быстрее в одном и том же направлении. С пружинами такое невозможно, а в других системах случается. Иногда система в одних условиях колеблется по синусоидальному закону, а в других срывается в экспоненциальный режим.
Умение находить с помощью математического анализа скрытые соотношения и симметрии, подобные, описанным выше, характеризует профессиональное мастерство физиков. Нередко более тонкие симметрии удается обнаружить, только коренным образом изменив математическое описание. Так произошло при переходе от птолемеевой космологии к ньютоновской механике, гораздо позднее – и с самой ньютоновской механикой.
В XIX в. законы Ньютона были математически полностью переформулированы французским физиком Жозефом Луи Лагранжем и ирландским физиком Уильямом Роуэном Гамильтоном. И тот и другой видоизменили математическое описание с тем, чтобы подчеркнуть простоту и изящество, заключенные в механике Ньютона. В работе Гамильтона, в частности, неожиданно оказался предвестник квантовой революции, которой предстояло опрокинуть всю классическую физику. Но до этого было еще далеко.
Основная проблема механики состоит в том, чтобы понять, описать и предсказать траектории (пути), по которым движутся материальные частицы под воздействием приложенных сил. Эти траектории, очевидно, имеют самый различный вид в зависимости от характера действующих сил. Задача о путях распространения в прозрачной среде световых лучей на первый взгляд кажется другой. Свет не подчиняется законам механики Ньютона, хотя хорошо известно, что при прохождении через среду с изменяющейся плотностью световые лучи искривляются. Например, нам кажется, что погруженная в пруд палка имеет излом в том месте, где входит в воду. Дело в том, что световые волны замедляются в плотных средах, и вторичные волны, исходящие из различных точек волнового фронта, встречая на своем пути участки среды с различной плотностью, образно говоря, “сбиваются с шага”: одни идут медленнее, другие быстрее. В большинстве случаев световой луч в конечном счете распространяется по пути, на котором от точки к точке затрачивается наименьшее время. Таким образом, поведение светового луча можно понять на основе теории волн, которые распространяются со скоростью, изменяющейся в зависимости от свойств среды, через которую они проходят.
Изменив математическую формулировку механики Ньютона, Гамильтон заметил, что наиболее сжатое выражение законов движения содержится в математическом соотношении, тождественном принципу минимального времени распространения световых волн. Грубо говоря, частицы стремятся переходить отточки к точке по наиболее легкому пути, т.е. с наименьшим сопротивлением, который в большинстве случаев оказывается и кратчайшим, т.е. требующим наименьших затрат времени. Тем самым было установлено, что материальные частицы и световые волны, несмотря на различие их характера и поведения, с математической точки зрения распространяются более или менее одинаковым образом.
Этот поразительный результат, полученный исключительно при попытке записать законы механики в новой математической форме, обнаруживает глубокую гармонию в природе, которая наводит на мысль, что в природе должны действовать и другие скрытые принципы.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115