Философы и математики реагировали на ситуацию по-разному. Пуанкаре, не любивший математическую логику и обвинявший ее в бесплодности, обрадовался: «Она больше не бесплодна, она рожает противоречия». Это блестящее замечание, впрочем, никак не способствовало решению проблемы. Некоторые другие математики, относившиеся неодобрительно к Георгу Кантору, заняли позицию Мартовского Зайца: «От этого я устал. Поговорим о чем-нибудь другом», что точно так же казалось мне неадекватным. Спустя какое-то время появились серьезные попытки решения со стороны людей, которые понимали математическую логику и осознавали насущную необходимость решения противоречия в терминах логики. Первым из них был Ф. П. Рамсей, ранняя смерть которого, к сожалению, оставила его работу незаконченной. Но в годы, предшествующие изданию «Principia Mathematica», опыта решения проблемы не было и я находился по сути один на один с собственным замешательством. Парадоксы обнаруживали и раньше, некоторые были известны в древности; как мне казалось, тогда ставили похожие проблемы, хотя авторы, писавшие после меня, считали, что проблемы греков были иного рода. Наиболее известен парадокс об Эпимениде-критянине, который сказал, что все критяне лжецы, и заставил людей сомневаться, не лгал ли он, когда говорил это. Этот парадокс в самой простой форме возникает, когда человек говорит: «Я лгу». Если он лжет, то ложно, что он лжет, и, следовательно, он говорит правду; но если он говорит правду, то лжет, ибо именно это он утверждает. Противоречие поэтому неизбежно. Это противоречие упоминается св. Павлом (Тит. І, 12), который, однако, не занимался его логическими аспектами, а доказывал с его помощью порочность язычников. Такие древние головоломки математики могли отрицать как не имеющие отношения к их предмету, но вот вопрос о самом большом кардинальном или ординальном числе они отбросить не могли, а он приводил их к противоречиях. Противоречие, связанное с самым большим ординалом, было обнаружено Бурали-Форти еще до того, как я открыл свое противоречие, но в его случае дело было гораздо более сложным, и я поэтому позволил себе предположить, что в его рассуждения закралась какая-то незначительная ошибка. В любом случае его противоречие, будучи гораздо более простым, чем мое, казалось prima facie менее разрушительным. Правда, в конце концов я вынужден был признать, что оно не менее серьезно.
В «Принципах математики» я не претендовал на то, что решение найдено. Я писал в предисловии: «Издавая работу, содержащую так много нерешенных трудностей, я оправдываю это тем, что исследование не дало пока ближайшей перспективы для адекватного решения противоречия, обсужденного в главе X, и не позволило лучше разобраться в природе классов. Постоянно обнаруживаемые ошибки в решениях, какое-то время меня удовлетворявших, выявили всю серьезность проблем, которые не поддавались обманчиво правдоподобнььм теориям, порожденным поверхностным размышлением, а только скрывались под этими теориями; поэтому я счел за лучшее сформулировать трудности и не ждать того времени, когда меня убедит истинность какого-нибудь почти наверняка ошибочного учения». А в конце главы о противоречиях я сказал: «В противоречии не замешана никакая философия, оно порождено.здравым смыслом и может быть разрешено, лишь если мы отринем одно из его допущений. Только гегелевская философия, которая живет за счет противоречий, может остаться безучастной, потому что находит подобные проблемы всюду. В любом другом учении столь прямой вызов требует ответа либо признания в бессилии. К счастью, других аналогичных трудностей, насколько я знаю, „Принципы математики“ не содержат». В приложении к книге излагалось учение о типах как возможное решение. Впоследствии я убедился, что решение действительно обнаруживается с помощью этого учения, но в «Принципах математики» я пришел к его очень грубой и неадекватной форме. Мои выводы того времени выражены в последнем параграфе книги: «Резюмируем: как оказалось, специальное противоречие главы Х решается с помощью учения о типах, но имеется по крайней мере одно аналогичное противоречие, которое, вероятно, неразрешимо с помощью этого учения. Тотальность всех логических объектов, или всех суждений, предполагает, по-видимому, фундаментальную логическую трудность. Каково окончательное ее решение, я не выяснил; но поскольку она оказывает влияние на сами основы рассуждения, я очень рекомендую всем, кто изучает логику, обратить на это внимание».
Завершив «Принципы математики», я начал настойчиво искать решение парадоксов. Это было почти личным вызовом, и при необходимости я готов был потратить на них всю оставшуюся жизнь. Однако по двум причинам я отказался от этого намерения. Во-первых, проблема в какой-то момент показалась мне тривиальной, а я ненавидел все недостойное внимания и интереса. Во-вторых, сколько я ни старался, решение не приходило. На всем протяжении 1903 и 1904 годов я почти все время занимался этим вопросом, но без каких-либо признаков успеха. Первой удачей стала (весной 1905 года) теория дескрипций. Она, разумеется, не была связана с противоречиями, но позже такая связь выявилась. В конце концов мне стало совершенно ясно, что в какой-то форме учение о типах существенно важно. Не настаивая на той конкретной форме, которая придана этому учению в «Principia Mathernatica», я остаюсь при полном убеждении, что без теории типов парадоксы разрешить невозможно.
Когда я искал решение, мне казалось, что для того, чтобы решение выглядело удовлетворительным, необходимы три условия.
1 2 3 4 5