ТОП авторов и книг ИСКАТЬ КНИГУ В БИБЛИОТЕКЕ
Первое из них и абсолютно обязательное: противоречия должны исчезнуть. Второе-весьма желательное, хотя логически не непременное: решение должно оставить в неприкосновенности как можно больше математики. Третье, трудно формулируемое: решение должно, видимо, апеллировать к так называемому «логическому здравому смыслу», т. е. оказаться в конце концов таким, каким мы его и ожидали увидеть. Из этих трех условий первое, разумеется, признано всеми. Второе, однако, отвергается теми, кто считает, что значительные разделы анализа в их нынешней формулировке неверны. Третье условие не считают существенно важным те, кто довольствуется логической техникой. Профессор Куайн, к примеру, нашел системы, которые привлекают своей изобретательностью. Но их нельзя считать удовлетворительными, поскольку они, видимо, созданы ad hoc; и они отличаются от тех систем, которые представлял бы себе самый умный логик, если бы не знал о противоречиях. По этому вопросу, однако, вышло огромное количество трудной для понимания литературы, и я не буду касаться более тонких моментов.
Объясню общие принципы теории типов, не вдаваясь в трудные технические детали. Возможно, лучше всего будет начать с того, что имеется в виду под «классом». Возьмем пример из домашнего хозяйства. Допустим, в конце обеда хозяин предлагает на выбор три сладких блюда, настаивая на том, чтобы вы попробовали одно, два или все три, как вы пожелаете. Сколько-линий поведения открыто перед вами? Вы можете от всего отказаться. Это первый выбор. Вы можете выбрать что-то одно. Это можно сделать тремя различными способами, и, следовательно, перед вами еще три варианта. Вы можете выбрать два-блюда. Это также возможно сделать тремя способами. Или вы можете выбрать все три, что дает одну, последнюю, возможность. Общее число возможностей, таким образом, равно восьми, т. е. 23 Можно легко обобщить эту процедуру. Положим, перед вами п объектов и вы желаете знать, сколько путей имеется, чтобы ничего не выбрать, или что-то выбрать, или же-выбрать все п. Вы обнаружите, что число путей 2n. Если выразить это в логическом языке: класс из п-то количества элементов имеет 2n подклассов. Это суждение истинно и в том случае, когда п бесконечно. Кантор как раз и доказал, что даже в этом случае 2n больше, чем п. Применяя это, как сделал я, ко всем веща.м во Вселенной, мы приходим к заключению, что классов вещей больше, чем вещей. Отсюда следует, что классы не являются «вещами». Но поскольку никто не знает точно, что означает слово «вещь» в этом утверждении, не очень-то легко тбчно сформулировать, что именно удалось доказать. Заключение, к которому я пришел, состояло в том, что классы – это просто подсобное средство в рассуждении. Классы приводили-меня в замешательство уже в то время, когда я писал «Принципы математики». Тогда я выражал свои мысли на языке, который был реалистическим (в схоластическом смысле) в большей мере, чем мне представляется сегодня правильным. Я писал в предисловии к той работе: «Обсуждение неопределенностей (indefinables), составляющее главный предмет философской логики, имеет целью ясно увидеть и прояснить для других соответствующие сущности, чтобы разум мог быть с ними знаком так же, как с красным цветом или вкусом ананаса. Там, где-как в данном случае-неопределимости получаются прежде всего в качестве необходимого остатка в процессе анализа, зачастую проще знать, что такие сущности должны быть, чем наблюдать их актуально; здесь имеется аналогия с процессом открытия Нептуна, с тем различием, что последний этап– поиски с помощью умственного телескопа сущности, которая имеет выводной характер, – нередко является самой трудной частью во всем предприятии. Признаюсь, что в случае с классами я не смог увидеть понятия, выполняющего те условия, которым должно удовлетворять понятие „класс“. И противоречие, обсуждаемое в главе X, доказывает, что чего-то не хватает, но чего именно, я до сих пор не обнаружил».
Теперь мне следует сформулировать вопрос несколько иначе. Следует сказать, что если дана любая пропозициональная функция, скажем fx, имеется некоторая область значений х, для которых эта функция «значима», т. е. либо истинна, либо ложна. Если а принадлежит этой совокупности, то fa- суждение, которое либо истинно, либо ложно. Вдобавок к подстановке постоянной вместо переменной х есть еще две вещи, которые можно делать с пропозициональной функцией: можно утверждать, во-первых, что она всегда истинна, а во-вторых– что она иногда истинна. Пропозициональная функция «если х человек, то х смертен» всегда истинна; пропозициональная функция «х человек» иногда истинна. Таким образом, с пропозициональной функцией можно проделать следующие три вещи: первое-подставить константу вместо переменной; второе-утверждать все значения функции: и третье-утверждать некоторые значения или по крайней мере одно значение. Сама по себе пропозициональная функция есть лишь выражение, она ничего не утверждает и не отрицает. Равным образом класс есть лишь выражение; это удобный способ говорить о значениях переменной, при которых функция истинна.
Что касается последнего из перечисленных выше трех условий, которым должно отвечать решение, то я выдвинул теорию, которая, видимо, другим логикам не понравилась; однако я до сих пор считаю ее здравой. Эта теория заключалась в следующем. Когда я утверждаю все значения функции fx, то значения, которые может принимать х, должны быть определенными (definite), если я хочу, чтобы то, что я утверждаю, было определенным. Должна быть, та.к сказать, некоторая тотальность возможных значений х.
1 2 3 4 5
Объясню общие принципы теории типов, не вдаваясь в трудные технические детали. Возможно, лучше всего будет начать с того, что имеется в виду под «классом». Возьмем пример из домашнего хозяйства. Допустим, в конце обеда хозяин предлагает на выбор три сладких блюда, настаивая на том, чтобы вы попробовали одно, два или все три, как вы пожелаете. Сколько-линий поведения открыто перед вами? Вы можете от всего отказаться. Это первый выбор. Вы можете выбрать что-то одно. Это можно сделать тремя различными способами, и, следовательно, перед вами еще три варианта. Вы можете выбрать два-блюда. Это также возможно сделать тремя способами. Или вы можете выбрать все три, что дает одну, последнюю, возможность. Общее число возможностей, таким образом, равно восьми, т. е. 23 Можно легко обобщить эту процедуру. Положим, перед вами п объектов и вы желаете знать, сколько путей имеется, чтобы ничего не выбрать, или что-то выбрать, или же-выбрать все п. Вы обнаружите, что число путей 2n. Если выразить это в логическом языке: класс из п-то количества элементов имеет 2n подклассов. Это суждение истинно и в том случае, когда п бесконечно. Кантор как раз и доказал, что даже в этом случае 2n больше, чем п. Применяя это, как сделал я, ко всем веща.м во Вселенной, мы приходим к заключению, что классов вещей больше, чем вещей. Отсюда следует, что классы не являются «вещами». Но поскольку никто не знает точно, что означает слово «вещь» в этом утверждении, не очень-то легко тбчно сформулировать, что именно удалось доказать. Заключение, к которому я пришел, состояло в том, что классы – это просто подсобное средство в рассуждении. Классы приводили-меня в замешательство уже в то время, когда я писал «Принципы математики». Тогда я выражал свои мысли на языке, который был реалистическим (в схоластическом смысле) в большей мере, чем мне представляется сегодня правильным. Я писал в предисловии к той работе: «Обсуждение неопределенностей (indefinables), составляющее главный предмет философской логики, имеет целью ясно увидеть и прояснить для других соответствующие сущности, чтобы разум мог быть с ними знаком так же, как с красным цветом или вкусом ананаса. Там, где-как в данном случае-неопределимости получаются прежде всего в качестве необходимого остатка в процессе анализа, зачастую проще знать, что такие сущности должны быть, чем наблюдать их актуально; здесь имеется аналогия с процессом открытия Нептуна, с тем различием, что последний этап– поиски с помощью умственного телескопа сущности, которая имеет выводной характер, – нередко является самой трудной частью во всем предприятии. Признаюсь, что в случае с классами я не смог увидеть понятия, выполняющего те условия, которым должно удовлетворять понятие „класс“. И противоречие, обсуждаемое в главе X, доказывает, что чего-то не хватает, но чего именно, я до сих пор не обнаружил».
Теперь мне следует сформулировать вопрос несколько иначе. Следует сказать, что если дана любая пропозициональная функция, скажем fx, имеется некоторая область значений х, для которых эта функция «значима», т. е. либо истинна, либо ложна. Если а принадлежит этой совокупности, то fa- суждение, которое либо истинно, либо ложно. Вдобавок к подстановке постоянной вместо переменной х есть еще две вещи, которые можно делать с пропозициональной функцией: можно утверждать, во-первых, что она всегда истинна, а во-вторых– что она иногда истинна. Пропозициональная функция «если х человек, то х смертен» всегда истинна; пропозициональная функция «х человек» иногда истинна. Таким образом, с пропозициональной функцией можно проделать следующие три вещи: первое-подставить константу вместо переменной; второе-утверждать все значения функции: и третье-утверждать некоторые значения или по крайней мере одно значение. Сама по себе пропозициональная функция есть лишь выражение, она ничего не утверждает и не отрицает. Равным образом класс есть лишь выражение; это удобный способ говорить о значениях переменной, при которых функция истинна.
Что касается последнего из перечисленных выше трех условий, которым должно отвечать решение, то я выдвинул теорию, которая, видимо, другим логикам не понравилась; однако я до сих пор считаю ее здравой. Эта теория заключалась в следующем. Когда я утверждаю все значения функции fx, то значения, которые может принимать х, должны быть определенными (definite), если я хочу, чтобы то, что я утверждаю, было определенным. Должна быть, та.к сказать, некоторая тотальность возможных значений х.
1 2 3 4 5