С другой стороны, если бы A был лжецом, то утверждение о том, что из трех островитян A, B и C рыцарь лишь один, было бы истинным. Но тогда A, будучи лжецом, не мог бы высказать это истинное утверждение. Следовательно, на вопрос незнакомца A не мог ответить: "Среди нас один рыцарь". Следовательно, B неверно передал высказывание A, из чего мы заключаем, что B - лжец, а C - рыцарь.
28. Предположим, что A - лжец. Если бы это было так, то утверждение "По крайней мере один из нас лжец" было бы ложным (так как лжецы высказывают ложные утверждения).
Следовательно, в этом случае A и B были бы рыцарями. Таким образом, если бы A был лжецом, то он не был бы лжецом, что невозможно. Отсюда мы заключаем, что A не лжец, он рыцарь.
Но тогда высказанное A утверждение должно быть истинным.
Поэтому по крайней мере один из двух персонажей A и B в действительности лжец. Так как A - рыцарь, то лжецом должен быть B. Итак, A - рыцарь, а B - лжец.
29. Эта задача может служить неплохим введением в логику дизъюнкции. Пусть заданы два высказывания p, q.
Высказывание "или p, или q" истинно, если истинно по крайней мере одно из высказываний p, q (или оба).
Высказывание "или p, или q" ложно, если ложны оба высказывания p, q. Например, если бы я в хорошую погоду сказал: "Либо дождик, либо снег", то мое высказывание было бы ложным, потому что ложны обе его части: и та, в которой говорится о дожде, и та, в которой говорится о снеге.
Именно так принято понимать связку "или" в логике. Именно так мы будем понимать ее на протяжении всей нашей книги. В повседневной жизни союз "или" иногда интерпретируют так же, как в логике (то есть допускают возможность выполнения обеих альтернатив), а иногда понимают в так называемом "исключительном" смысле (то есть считают, что выполняется одна и только одна из альтернатив, но не обе). В качестве примера "исключительного или" при" веду хотя бы такое высказывание: "Я женюсь на Бетти или на Джейн".
Предполагается, что альтернативы взаимно исключающие, то есть что я не женюсь на обеих девушках одновременно. С другой стороны, если в учебной программе колледжа сказано, что студенты первого курса должны либо прослушать годовой цикл лекций по математике, либо пройти годичный курс иностранного языка, то вряд ли руководство колледжа станет возражать, если вы захотите прослушать и то и другое!
Именно в этом - "включительном" - смысле мы и будем использовать логическую связку "или".
Другое важное свойство дизъюнкции "или... , или" состоит в следующем. Рассмотрим высказывание p или q" (так мы условимся для краткости записывать сложное высказывание "или p, или q"). Предположим, что оно истинно. Тогда если p ложно, то q должно быть истинно (так как по крайней мере одно из высказываний должно быть истинным, то если p ложно, то q должно быть истинным). Предположим, что высказывание "Либо дождик, либо снег" истинно, но неверно, что дождь идет. Тогда должно быть истинно, что идет снег.
Воспользуемся свойствами дизъюнкции и применим их к решению задачи. A высказывает сложное утверждение типа дизъюнкции:
"Или я лжец, или B - рыцарь". Предположим, что A - лжец. Тогда высказанное им утверждение ложно. "Перевести"
это можно так: неверно, что A - лжец и что B - рыцарь.
Таким образом, если бы A был лжецом, то из этого следовало бы, что он не лжец, то есть мы пришли бы к противоречию:
Отсюда мы заключаем, что A должен быть рыцарем.
Итак, мы установили, что A - рыцарь. Следовательно, его высказывание о том, что выполняется по крайней мере одна из двух альтернатив (1) A лжец, 2) B - рыцарь), истинно. А поскольку первая альтернатива (А лжец)
ложна, то должна выполняться вторая альтернатива, то есть B - рыцарь. Таким образом, установлено, что A и B - оба рыцари.
30. Единственное здравое заключение, к которому можно прийти, состоит в том, что автор этой задачи не рыцарь.
Действительно, ни рыцарь, ни лжец не могли бы высказать утверждения, приведенного в задаче. Действительно, предположим, что A - рыцарь. Тогда высказывание "А - лжец или два плюс два - пять" ложно, так как оба образующих его высказывания ("А - лжец" и "два плюс два - пять") ложны. Но это означало бы, что рыцарь A высказал ложное утверждение, что невозможно. С другой стороны, если бы A был лжецом, то сложное высказывание "А - лжец или два плюс два - пять" было бы истинным, так как первое из входящих в него простых высказываний "А - лжец" истинно. Но тогда лжец A высказал бы истинное утверждение, что также невозможно.
Итак, условия задачи (так же как и условия задачи о всесокрушающем пушечном ядре и несокрушимом столбе)
противоречивы. Следовательно, я, автор задачи, либо допустил ошибку, либо солгал. Смею уверить вас, что ошибки я не допускал. Отсюда вы с полным основанием приходите к выводу, что я не рыцарь.
31. Прежде всего заметим, что A должен быть лжецом.
Действительно, если бы A был рыцарем, то из его высказывания следовало бы, что все трое лжецы. Но тогда A (по предположению, рыцарь) оказался бы лжецом, что невозможно. Следовательно, A - лжец. Но тогда его высказывание ложно и по крайней мере один из трех островитян A, B и C рыцарь.
Предположим теперь, что B - лжец. Тогда A и B - оба лжецы, поэтому C должен быть рыцарем (так как по крайней мере один из трех островитян рыцарь). Это означает, что ровно один из трех островитян рыцарь, и, следовательно, высказывание B истинно, но это невозможно, так как любое высказывание лжеца не истинно. Отсюда мы заключаем, что B должен быть рыцарем.
Итак, мы установили, что A - лжец, а B - рыцарь. Так как B рыцарь, то его высказывание истинно, поэтому ровно один из трех островитян - рыцарь. Им должен быть B, следовательно, C должен быть лжецом.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11