Начнем с исторической байки.
Аксель Иванович Берг – адмирал и академик, человек со взрывным характером, был одним из первых пропагандистов кибернетики в СССР, когда она еще официально считалась «продажной девкой капитализма». Дискретную математику тогда в технических вузах не изучали из-за полной ее практической бесполезности, а кибернетика уже начинала ею робко пользоваться.
Во время беседы с одним «журналистом по научной тематике», который утверждал, что теория множеств не только не нужна, но и не понятна простому советскому инженеру, Берг прервал беседу и приказал своему шоферу отвести их в ближайший детский садик.
В детском садике дети играли в большом песочнике. Других развлечений в послевоенных садиках было мало. Берг нарисовал в песочнике два больших частично пересекавшихся круга, как это делают со свадебными кольцами на открытках и машинах. (Для тех, кто со свадьбами в жизни не сталкивался, скажем, что с похожим перехлестом рисуют олимпийские кольца).
Далее он сказал: «Пусть в левый круг встанут все, кто любит манную кашу, а в правый – все, кто любит сливовый кисель!». Дети были горазды поесть (послевоенное время голодное), поэтому никто не остался равнодушно стоять в стороне и все забежали в нарисованные круги. Об'единение всех этих маленьких сладкоежек и есть операция об'единения теории множеств.
Но, поскольку почти все дети встали в то место, где круги наложились друг на друга, из-за любви к каше и киселю одновременно, то тем самым продемонстрировали понимание физического смысла операции пересечения двух множеств.
«Ну вот! Не знаю как инженеры, а дети понимают смысл операций над множествами!»,– сказал Берг…
Кстати, здесь роль универсума играл весь песочник.
То, что нарисовал на песке Берг, называют сейчас диаграммами Эйлера-Венна. А то, что находилось на песке за пределами каждого из кругов, было дополнением соответствующего множества, то есть множеством элементов универсума, не принадлежащих к числу любителей данного кушанья (там находились Берг с журналистом).

Если рассмотреть внимательно студенческую группу ух-004, то об'единение множества отличников и спортсменов даст множество под названием «слава группы ух-004». Принципиальное отличие об'единения множеств от школьного сложения не только в том, что студенты – это не числа и мы их не пересчитываем( ! ), но и в том, что студенты, которые одновременно отличники и спортсмены, будут учтены один раз. Так что запросто может оказаться, что отличников четыре, а спортсменов двадцать, но их об'единение под названием «слава группы ух-004» будет содержать всего двадцать два студента.
Ясно, что пересечение этих множеств даст двух студентов, которые одновременно и отличники и спортсмены. Они, скорее всего, девушки, да еще и красавицы, но красота не использовалась здесь в качестве характеристики, по которой выделялись элементы этих множеств…

Когда у математиков появляются в руках об'екты, а у нас здесь раздолье – любые об'екты можно брать, и операции – а мы основную тройку тоже обозначили, то математики начинают говорить об АЛГЕБРЕ .
Алгебра множеств как небо и земля отличается от школьной, хотя есть некоторые аналогии. В алгебре множеств есть те же названия законов: КОММУТАТИВНЫЙ , АССОЦИАТИВНЫЙ и ДИСТРИБУТИВНЫЙ (перестановочный, сочетательный и распределительный). Первые два похожи как две капли воды, упавшие с неба на землю. А вот дистрибутивный закон имеет и аналог в школьной алгебре (выражаясь «по-школьному» произведение суммы есть сумма произведений), но имеет и уникальную версию. В теории множеств, если тоже сказать кратко, то пересечение с об'единением равно об'единению пересечений и ( ! ) об'единение с пересечением равно пересечению об'единений. Второе не имеет аналогии в школьной алгебре:"Сумма с произведением не равна произведению сумм".
Проиллюстрируем сказанное:
Коммутативный закон: Об'единение (пересечение) отличников и спортсменов равно об'единеию (пересечению) спортсменов и отличников.
Ассоциативный закон: От изменения порядка об'единения (пересечения) спортсменов, отличников и красавцев результат не меняется.
Дистрибутивный закон (только экзотическая версия): Об'единение красавцев с пересечением спортсменов и отличников равно множеству, в котором пересекаются об'единения красавцев и спортсменов с об'единеием красавцев с отличниками. (В условных обозначениях это было бы гораздо короче и нагляднее, но мы зареклись насчет формул).
Сложновато воспринимается на слух закон поглощения, который, однако, в ряде случаев позволяет упрощать теоретико-множественные конструкции. Пересечение отличников с об'единением отличников и спортсменов дает множество отличников. Или второй вариант. Об'единение отличников с пересечением отличников и спортсменов дает множество отличников. Тем не мение, если обдумать сказанное, и поразмахивать руками, то справедливость результатов очевидна.
Есть еще закон, название которого почему-то студентов забавляет – он им, видимо, что то-напоминает. А закон этот смело можно отнести к самым важным законам (свойствам). Это закон ИДЕМПОТЕНТНОСТИ . Об'единение (пересечение) множества спортсменов с множеством спортсменов дает множество спортсменов.
Очень по-французски звучит ЗАКОН Де Моргана : Дополнение об'единения отличников со спортсменами равно пересечению дополнения множества спортсменов с дополнением множества отличников. И второй вариант. Дополнение пересечения отличников со спортсменами равно об'единению дополнения множества спортсменов с дополнением множества отличников.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19