— Что делать, — сказал я, — придётся тебе поднатужиться.— Понятно! — кивнул Нулик. — Сейчас вы станете объяснять, какое среднее музыкальное пришлось уплатить Магистру за вилион… виолончель…— Угадал! Только число это называется не средним музыкальным, а средним гармоническим.Нулик скорчил недовольную гримаску.— Ну, мне от этого не легче. Лучше скажите: почему среднее гармоническое восьми и восемнадцати равно 11 леопардам и 1 ягуару?— "Почему, почему"!.. — проворчала Таня. — Потому что в одном леопарде 13 ягуаров.— Это я и сам знаю. А всё-таки, почему одиннадцать целых и одна тринадцатая есть среднее гармоническое восьми и восемнадцати?Таня засмеялась.— Хитрюга! Спросил бы уж прямо, что такое среднее гармоническое.— Ему престиж не позволяет! — подтрунил Сева.— Ладно, — миролюбиво сказал я, — выясним, что такое среднее гармоническое. Но для этого вспомним сперва, что такое среднее арифметическое и среднее геометрическое.— Это я знаю, — оживился президент. — Среднее арифметическое двух чисел — это половина их суммы.— А среднее геометрическое?— А среднее геометрическое двух чисел есть корень квадратный из их произведения.— Отлично! — сказал я. — Хорошо бы это записать.— Запишем так, — отвечал Нулик:среднее арифметическое = (A+B)/2среднее геометрическое = sqrt(AB)Что, верно?— Верно.— Но какое отношение все это имеет к среднему гармоническому?— Самое прямое, — сказал я. — Потому что среднее гармоническое так относится к среднему геометрическому, как среднее геометрическое к среднему арифметическому.— Давайте запишем и это, — предложил президент.— Запишем, — согласился я и написал на бумажке: (среднее гармоническое)/(среднее геометрическое)=(среднее геометрическое)\(среднее арифметическое)
А если подставить сюда уже известные нам буквенные выражения, пропорция эта будет выглядеть так: (среднее гармоническое)/(sqrt(AB))=(sqrt(AB))/((A+B)/2)
Отсюда среднее гармоническое = (sqrt(AB)*sqrt(AB)2AB)/((A+B)/2A+B)
— Ага! — обрадовался Нулик. — Теперь подставим сюда цены скрипки и контрабаса. Допустим, цена скрипки — A. Подставляем, стало быть, 8. Цена контрабаса — B. Подставляем 18. Тогда среднее гармоническое = 2*8*18/(8+18)
Теперь все это взбалтываем, смешиваем и получаем 144/13, или 11(1/13).— Ну вот, — облегчённо вздохнул Сева. — Их президентское высочество ублаготворены: леопарды и ягуары сошлись.— По-моему, — вставил Олег, — надо ещё обратить внимание на то, что из всех трех средних самое большое — среднее арифметическое, а самое маленькое — среднее гармоническое.Нулик поднял светлые бровки.— Всегда?— Нет, не всегда, а только в том случае, если числа A и B не равны между собой.— А если равны?— Ну, тогда все три средних тоже равны между собой.— Все это хорошо, — важно сказал президент, — но не кажется вам, что разговор у нас какой-то чудной? Сперва говорили про музыку, потом про Пифагора, а потом забыли и про то, и про другое.— Ничего мы не забыли, — возразил я. — Теперь мы выяснили наконец, что такое среднее гармоническое, и потому можем вернуться к вопросу о связи математики с музыкой. Стало быть, и к Пифагору, который много занимался гармонией. А гармония для Пифагора была понятием широким. Он искал её и в геометрии, и в арифметике, и в движении небесных тел, и в музыке. И находил во всех этих областях науки общие законы гармонии. Пифагор создал целое учение о гармонии и главную роль в этом учении отводил числам. Особое значение придавал он первым четырём числам натурального ряда — 1, 2, 3 и 4. По его мнению, эти числа лежат в основе всякой гармонии…— Вот уж не нахожу, — перебил Нулик. — Четыре — ещё куда ни шло, но тройка, тем более — двойка… Ничего в них хорошего нет! Так, по крайней мере, говорит моя мама, когда я показываю ей свой школьный дневник.— Ну, мама, очевидно, подразумевает совсем другое, — улыбнулся я, — а Пифагор считал эти числа фундаментом мировой гармонии. Он пристально изучал их отношения, или, лучше сказать, соотношения, и очень неожиданно применил их в музыке.— Что ж такое он сделал? — спросил президент, весьма заинтригованный.— Да на первый взгляд ничего особенного: взял обыкновенную струну и натянул её на доску.— Это и я могу! — отозвался президент. — Струну можно снять со скрипки, а доску добыть — дело нехитрое.— Нет, скрипку разорять ни к чему, — быстро сказал Сева, к великому разочарованию президента, обожавшего все разбирать и развинчивать. — Скрипка — это ведь, собственно, и есть дощечка с натянутыми на неё струнами.— Отлично! — согласился я. — Возьмём скрипку и познакомимся с изобретением Пифагора на личном опыте. Вот струна. Ущипни-ка её, Нулик.Президент выполнил мою просьбу с удовольствием. — А теперь прижми струну к грифу точно посередине и ущипни её ещё разок… Слышишь? Этот звук получился гораздо тоньше первого, или, как говорят музыканты, выше.— Слышу! — подтвердил президент, не переставая терзать бедную струну.— Так вот, разность этих высот, или, как говорят, интервал между ними, принято называть октавой. И получилась октава оттого, что струну разделили в отношении 2:1. Теперь разделим струну на три части и прижмём на расстоянии двух третей. Ну-ка, что там у нас получилось?— Получился звук хоть и повыше, чем тогда, когда дёргали целую струну, зато чуть пониже, чем когда разделили струну на две части.— Правильно. Звук при этом получается выше не на октаву, а на так называемую квинту. И происходит это тогда, когда струну делят в отношении 3:2. А теперь разделим струну в отношении 4:3. Попросту прижмём её на расстоянии трех четвертей. Что получилось? Получился звук ещё чуть ниже, чем тогда, когда мы ущипнули две трети струны.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50